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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
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Práctica 8 - Integrales

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9. Utilizando los métodos de integración vistos hasta ahora en combinación con identidades trigonométricas, calcule
d) ∫exdx\int e^{\sqrt{x}} d x

Respuesta

Cuando yo veo una integral así:

∫exdx\int e^{\sqrt{x}} d x

la realidad es que muchas opciones no tenemos. Tomemos la sustitución u=xu = \sqrt{x} y veamos qué pasa:

u=xu = \sqrt{x}

du=12 x dx⇒dx=2 x du=2 u dudu = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \, dx \Rightarrow dx = 2 \sqrt{x} \, du = 2 \, u \, du
Ahora reescribimos la integral en términos de uu: ∫exdx=∫eu⋅2 u du=2∫eu u du\int e^{\sqrt{x}} dx = \int e^u \cdot 2 \, u \, du = 2 \int e^u \, u \, du Y respiramos tranqui, porque llegamos a una integral que sabemos resolver usando partes! ∫f′⋅g=f⋅g−∫f⋅g′\int f' \cdot g = f \cdot g - \int f \cdot g' Tomamos: f′=eu⇒f=euf' = e^u \Rightarrow f = e^u
g=u⇒g′=1g = u \Rightarrow g' = 1 Aplicamos la fórmula de integración por partes: 2∫eu⋅u du=2⋅[eu⋅u−∫eu du]2 \int e^u \cdot u \, du = 2 \cdot [e^u \cdot u - \int e^u \, du]
2∫eu⋅u du=2⋅[eu⋅u−eu]2 \int e^u \cdot u \, du = 2 \cdot [e^u \cdot u - e^u] 

Ahora, volvemos a la variable original xx, de paso hago la distributiva del 22, agregamos la constante y nos queda: ∫exdx=2xex−2ex+C\int e^{\sqrt{x}} dx = 2\sqrt{x} e^{\sqrt{x}} - 2e^{\sqrt{x}} + C
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ExaComunidad
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angeles
17 de junio 20:20
hola profe todo bien? no logro entender bien como llegaste a reescribir al du asi, o sea entiendo que el denominador lo pasaste multiplicando y ahi quede jajaja
0 Responder
Flor
PROFE
17 de junio 21:12
@angeles Hola Angeles! Fijate que a nosotros nos queda que:

du=12 x dxdu = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \, dx

Entonces, si despejamos el dxdx nos queda que lo podemos escribir así:

dx=2x dudx = 2 \sqrt{x} \, du

(los pasé multiplicando)

Entonces ahora vuelvo a la integral y donde dice dxdx escribo eso:

∫exdx=∫eu⋅2 x du\int e^{\sqrt{x}} dx = \int e^u \cdot 2 \, \sqrt{x} \, du

y fijate que x\sqrt{x} es uu, así que ese x\sqrt{x} que nos quedó ahí lo escribimos como uu y por eso nos queda:

∫exdx=∫eu⋅2 u du\int e^{\sqrt{x}} dx = \int e^u \cdot 2 \, u \, du

Se ve mejor ahora?
0 Responder
angeles
18 de junio 20:45
aa claro, no me di cuenta que era u, gracias <3
0 Responder